Skip to main content

Διαφορικές Εξισώσεις 3: Γραμμικές Εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές - Σειρές Fourier (Νέο)

Περιγραφή του μαθήματος

Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως που συναντούμε στα πραγματικά προβλήματα δεν ανήκουν πάντα στον "παράδεισο" των εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Διάσημες εξισώσεις όπως η Bessel και η Legendre, που είναι πανταχού παρούσες στις εφαρμογές, είναι εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές. Οι τρεις πρώτες εβδομάδες τούτου του τελευταίου μέρους του μαθήματος είναι αφιερωμένες στις εξισώσεις αυτού του είδους, ενώ οι υπόλοιπες δύο στο εξίσου σημαντικό θέμα των σειρών Fourier και του συναφούς προβλήματος των συνοριακών τιμών που είναι στενά συνδεδεμένο με την επίλυση των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων της Μαθηματικής Φυσικής. Αναγνωρίζοντας την εγγενή δυσκολία της μεθόδου των δυναμοσειρών —που είναι η μόνη γενική μέθοδος λύσης των δευτεροτάξιων εξισώσεων με μεταβλητούς συντελεστές— το μάθημα καταβάλει μια ιδιαίτερη προσπάθεια για τη συστηματική απλοποίησή της, βασιζόμενο σε έννοιες και τεχνικές που έχει αναπτύξει ο διδάσκων προκειμένου να απαντήσει σε ερωτήματα που ο ίδιος επίμονα έθετε στον εαυτό του, διαπίστωσε όμως ότι παρέμεναν συστηματικά ανερώτητα στη βιβλιογραφία. Χάρις σε λίγες έννοιες-κλειδιά —π.χ. εκείνη των διβάθμιων εξισώσεων— οι διάσημες εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής αποκτούν μια καθαρά μαθηματική αξία που αναδεικνύει τη σημασία τους ανεξάρτητα από την όποια χρησιμότητά τους στις εφαρμογές. Ενώ αναπτύσσονται επίσης αποτελεσματικές τεχνικές χειρισμού τους, ώστε βασικά ερωτήματα που τίθενται στην πράξη να μπορούν να απαντηθούν σχεδόν με απλή εποπτεία της εξίσωσης ή με τετριμμένους υπολογισμούς. Παραδείγματος χάριν πότε μια δοθείσα εξίσωση έχει πολυωνυμικές λύσεις και για ποιες τιμές μιας χαρακτηριστικής παραμέτρου της ή αν μπορεί να αναχθεί σε κάποια πρότυπη μορφή και να εκφραστούν οι λύσεις της μέσω γνωστών συναρτήσεων (Bessel, υπεργεωμετρικές, κ.λπ.).

Το μάθημα έχει σχεδιαστεί ώστε να είναι προσιτό τόσο σε αυτούς που ενδιαφέρονται για μια πιο ελαφρά κατανόηση του αντικειμένου του όσο και σε εκείνους που θέλουν να αξιοποιήσουν όλες τις ευκαιρίες που τους προσφέρει για να γίνουν "γνώστες" του. Για αυτόν τον σκοπό έχει τροποποιηθεί και η διαδικασία αξιολόγησης, με κατάργηση των εβδομαδιαίων τεστ και μετατροπή των ασκήσεων κατανόησης μεταξύ των βίντεο από μη βαθμολογούμενες σε βαθμολογούμενες. Όπως και τα προηγούμενα μέρη του μαθήματος, έτσι και τούτο στέκει αυτοτελώς και μπορεί να το παρακολουθήσει ο καθένας που έχει μια βασική εξοικείωση με τις θεμελιώδεις έννοιες του λογισμού και των διαφορικών εξισώσεων. Απαιτεί όμως μεγαλύτερη μαθηματική ωριμότητα και ισχυρότερο κίνητρο για μάθηση. Από την πλευρά του, ο διδάσκων ελπίζει να μεταγγίσει λίγο από τον ενθουσιασμό του για το αντικείμενο του μαθήματος σε όσους έχουν την επιθυμία να το γνωρίσουν.

Ευχαριστίες


Παρά την δική μου προσπάθεια να εντοπίσω σφάλματα και παραδρομές του λόγου στα βίντεο του μαθήματος ώστε να διορθωθούν εγκαίρως, εν τούτοις το αποτέλεσμα δεν θα ήταν το καλύτερο αν η κ. Κατερίνα Κομμά, συνάδελφος Φυσικός, εθελόντρια βοηθός του μαθήματος, δεν έκανε ένα δεύτερο πολύ πιο αποτελεσματικό έλεγχο: Τόσο στα βίντεο όσο και στις παρεμβαλλόμενες ασκήσεις. Η ένταση και η ποιότητα της εθελοντικής προσφοράς ανθρώπων όπως η κ. Κομμά και ο κ. Νικολάου είναι ένα από τα πολύ ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του Mathesis που αποτελούν διαρκή πηγή ηθικής ικανοποίησης και αισιοδοξίας για το μέλλον του "πειράματος". Τους ευχαριστώ εκ μέρους όλων μας εδώ στην Κρήτη.

Διδάσκων

Στέφανος Τραχανάς

Ο Στέφανος Τραχανάς διδάσκει, μεταξύ άλλων, κβαντική φυσική και διαφορικές εξισώσεις στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης από το 1983 έως σήμερα. Είναι συγγραφέας εννέα πανεπιστημιακών συγγραμμάτων στα παραπάνω πεδία και ενός βιβλίου για το ευρύτερο μορφωμένο κοινό με τίτλο Το φάντασμα της όπερας: Η επιστήμη στον πολιτισμό μας. Το βιβλίο του, An Introduction to Quantum Physics, κυκλοφόρησε πρόσφατα από τον εκδοτικό οίκο Wiley. Το 2003 ανακηρύχτηκε σε επίτιμο διδάκτορα του Πανεπιστημίου Κρήτης ενώ το 2012 του απονεμήθηκε το Εθνικό βραβείο εξαίρετης πανεπιστημιακής διδασκαλίας, το οποίο επιδίδεται από τον Πρόεδρο της ελληνικής δημοκρατίας. Για το σύνολο της προσφοράς του τιμήθηκε το 2015 με τον Ανώτερο Ταξιάρχη του Φοίνικα της Ελληνικής Δημοκρατίας. Ως ιδρυτικό μέλος και διευθυντής των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης μέχρι το 2013 είχε τη βασική ευθύνη για τη δημιουργία του πρώτου πανεπιστημιακού εκδοτικού οίκου της χώρας. Τα τελευταία χρόνια το όνειρό του είναι η διαδικτυακή εκπαίδευση και το νέο είδος εκπαιδευτικού υλικού που θα χρειαστεί για να την στηρίξει. Πιστεύει ότι η χώρα μας δεν μπορεί να μείνει έξω από τις επαναστατικές αλλαγές που συντελούνται αλλού σε αυτό το θέμα και γι' αυτόν το σκοπό πήρε την πρωτοβουλία για την ίδρυση του Mathesis —ενός ιδιαίτερου τμήματος των ΠΕΚ— στο οποίο και προσφέρει εθελοντικά την εργασία του τόσο ως διευθυντής του (πλήρους απασχόλησης) όσο και ως δάσκαλος ή συγγραφέας. Η επιτυχία του «πειράματος» είναι το προσωπικό του στοίχημα για τα επόμενα χρόνια.

Εθελοντές βοηθοί μαθήματος:

  • Κώστας Νικολάου (gus614), Σμήναρχος (ε.α) Πολεμικής Αεροπορίας, Ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΤΕ.
  • Κατερίνα Κομμά (diman02), Εκπαιδευτικός μέσης εκπαίδευσης, Φυσικός.

Συντελεστές

Βιντεοσκόπηση: Δημήτρης Βουδούρης
Μοντάζ: Δημήτρης Βουδούρης
Προγραμματισμός ασκήσεων: Δημήτρης Αγγελάκης

Η βιντεοσκόπηση έγινε στο στούντιο του Mathesis στο Ηράκλειο τον χειμώνα του 2019.

Με τη δική σας υποστήριξη συνεχίζουμε


Τα μαθήματα του Mathesis προσφέρονται δωρεάν και έτσι θα συνεχίσουν. Μπορείτε να τα παρακολουθήσετε μέχρι τέλους και να συμμετέχετε στα εβδομαδιαία τεστ και την τελική εξέταση. Στα περισσότερα μαθήματα θα σας ζητείται όμως ένα μικρό αντίτιμο –της τάξης των 20€– για την έκδοση της βεβαίωσης επιτυχούς παρακολούθησης, εφόσον βέβαια την δικαιούστε έχοντας εξασφαλίσει την απαιτούμενη ελάχιστη επίδοση του 50%. Για τους ανέργους η βεβαίωση χορηγείται δωρεάν. Από την πλευρά μας θεωρούμε αυτό το μικρό αντίτιμο ως την αναγκαία συμβολή σας για τη συνέχιση της λειτουργίας ενός θεσμού που υπηρετεί δημόσιους σκοπούς χωρίς να δέχεται ούτε ένα ευρώ –άμεσης ή έμμεσης– κρατικής ενίσχυσης. Βασίζεται μόνο σε δωρητική στήριξη —η οποία καλύπτει πλέον μόνο ένα μικρό μέρος των ετήσιων δαπανών του— και εθελοντική εργασία. Η συνέχιση της λειτουργίας του Mathesis απαιτεί λοιπόν και τη δική σας ενεργό στήριξη. Σε αυτό το πνεύμα θεωρούμε αναγκαίο πριν τη συμμετοχή σας στην τελική εξέταση του μαθήματος να αναλάβετε μια ηθική δέσμευση απέναντι στο Mathesis. Ότι αν ολοκληρώσετε επιτυχώς το μάθημα και δικαιούστε τη βεβαίωση παρακολούθησης, θα καταβάλετε το αντίτιμο των 20€ για την απόκτησή της, έστω κι αν δεν έχει μια προφανή χρησιμότητα για σας. Ένα μικρό βήμα για σας, μια αναγκαία συνθήκη όμως για τη δυνατότητα του Mathesis να σας προσφέρει την ποιότητα μαθημάτων που σας προσέφερε μέχρι τώρα.

Σημαντική προσθήκη: Σας ενημερώνουμε επίσης ότι από τον επόμενο κύκλο μαθημάτων (Φεβρουάριος 2020) όσοι δεν έχουν εκπληρώσει την ηθική δέσμευση που έχουν αναλάβει σε περισσότερα από 2 μαθήματα των οποίων οι προθεσμίες πληρωμής έχουν λήξει, στα νέα μαθήματα που τυχόν παρακολουθήσουν δεν θα έχουν πρόσβαση στην τελική τους εξέταση, υπό τον όρο βέβαια ότι η μη τήρηση της δέσμευσής τους συνεχίζεται.

  1. Κωδικός Μαθήματος

    ΜΑΘ2.3
  2. Έναρξη Μαθήματος

    16/12/2019
  3. Προσπάθεια

    40 ώρες
  4. Διάρκεια

    5 εβδομάδες
  5. Παρακολούθηση

    Δωρεάν
  6. Κόστος Βεβαίωσης

    20€
Enroll