Skip to main content

Διαφορικές Εξισώσεις 3: Γραμμικές Εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές - Σειρές Fourier (Ε)

Περιγραφή του μαθήματος

Οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως που συναντούμε στα πραγματικά προβλήματα δεν ανήκουν πάντα στον «παράδεισο» των εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Διάσημες εξισώσεις όπως η Bessel και η Legendre, που είναι πανταχού παρούσες στις εφαρμογές, είναι εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές. Οι τρεις πρώτες εβδομάδες τούτου του τελευταίου μέρους του μαθήματος είναι αφιερωμένες στις εξισώσεις αυτού του είδους, ενώ οι υπόλοιπες δύο στο εξίσου σημαντικό θέμα των σειρών Fourier και του συναφούς προβλήματος των συνοριακών τιμών που είναι στενά συνδεδεμένο με την επίλυση των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων της Μαθηματικής Φυσικής. Αναγνωρίζοντας την εγγενή δυσκολία της μεθόδου των δυναμοσειρών —που είναι η μόνη γενική μέθοδος λύσης των δευτεροτάξιων εξισώσεων με μεταβλητούς συντελεστές— το μάθημα καταβάλει μια ιδιαίτερη προσπάθεια για τη συστηματική απλοποίησή της, βασιζόμενο σε έννοιες και τεχνικές που έχει αναπτύξει ο διδάσκων προκειμένου να απαντήσει σε ερωτήματα που ο ίδιος επίμονα έθετε στον εαυτό του, διαπίστωσε όμως ότι παρέμεναν συστηματικά ανερώτητα στη βιβλιογραφία. Χάρις σε λίγες έννοιες-κλειδιά —π.χ. εκείνη των διβάθμιων εξισώσεων— οι διάσημες εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής αποκτούν μια καθαρά μαθηματική αξία που αναδεικνύει τη σημασία τους ανεξάρτητα από την όποια χρησιμότητά τους στις εφαρμογές. Ενώ αναπτύσσονται επίσης αποτελεσματικές τεχνικές χειρισμού τους, ώστε βασικά ερωτήματα που τίθενται στην πράξη να μπορούν να απαντηθούν σχεδόν με απλή εποπτεία της εξίσωσης ή με τετριμμένους υπολογισμούς. Παραδείγματος χάριν πότε μια δοθείσα εξίσωση έχει πολυωνυμικές λύσεις και για ποιες τιμές μιας χαρακτηριστικής παραμέτρου της ή αν μπορεί να αναχθεί σε κάποια πρότυπη μορφή και να εκφραστούν οι λύσεις της μέσω γνωστών συναρτήσεων (Bessel, υπεργεωμετρικές, κ.λπ.).

Το μάθημα έχει σχεδιαστεί ώστε να είναι προσιτό τόσο σε αυτούς που ενδιαφέρονται για μια πιο ελαφρά κατανόηση του αντικειμένου του όσο και σε εκείνους που θέλουν να αξιοποιήσουν όλες τις ευκαιρίες που τους προσφέρει για να γίνουν "γνώστες" του. Για αυτόν τον σκοπό έχει τροποποιηθεί και η διαδικασία αξιολόγησης, με κατάργηση των εβδομαδιαίων τεστ και μετατροπή των ασκήσεων κατανόησης μεταξύ των βίντεο από μη βαθμολογούμενες σε βαθμολογούμενες. Όπως και τα προηγούμενα μέρη του μαθήματος, έτσι και τούτο στέκει αυτοτελώς και μπορεί να το παρακολουθήσει ο καθένας που έχει μια βασική εξοικείωση με τις θεμελιώδεις έννοιες του λογισμού και των διαφορικών εξισώσεων. Απαιτεί όμως μεγαλύτερη μαθηματική ωριμότητα και ισχυρότερο κίνητρο για μάθηση. Από την πλευρά του, ο διδάσκων ελπίζει να μεταγγίσει λίγο από τον ενθουσιασμό του για το αντικείμενο του μαθήματος σε όσους έχουν την επιθυμία να το γνωρίσουν.

Ευχαριστίες


Παρά την δική μου προσπάθεια να εντοπίσω σφάλματα και παραδρομές του λόγου στα βίντεο του μαθήματος ώστε να διορθωθούν εγκαίρως, εν τούτοις το αποτέλεσμα δεν θα ήταν το καλύτερο αν η κ. Κατερίνα Κομμά, συνάδελφος Φυσικός, εθελόντρια βοηθός του μαθήματος, δεν έκανε ένα δεύτερο πολύ πιο αποτελεσματικό έλεγχο: Τόσο στα βίντεο όσο και στις παρεμβαλλόμενες ασκήσεις. Η ένταση και η ποιότητα της εθελοντικής προσφοράς ανθρώπων όπως η κ. Κομμά και ο κ. Νικολάου είναι ένα από τα πολύ ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του Mathesis που αποτελούν διαρκή πηγή ηθικής ικανοποίησης και αισιοδοξίας για το μέλλον του "πειράματος". Τους ευχαριστώ εκ μέρους όλων μας εδώ στην Κρήτη.

Διδάσκων

Στέφανος Τραχανάς

Ο Στέφανος Τραχανάς διδάσκει, μεταξύ άλλων, κβαντική φυσική και διαφορικές εξισώσεις στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης από το 1983 έως σήμερα. Από το 1986 και μετά είναι μέλος του επιστημονικού προσωπικού του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας και η διδασκαλία του στο τμήμα Φυσικής προσφέρεται δωρεάν. Είναι συγγραφέας έντεκα πανεπιστημιακών συγγραμμάτων στα παραπάνω πεδία καθώς και των βιβλίων Το φάντασμα της όπερας: Η επιστήμη στον πολιτισμό μας και Το αμάρτημα της Εύας: Φυσική κάτω από τ’ άστρα και δημιουργική μάθηση, τα οποία απευθύνονται στο ευρύτερο μορφωμένο κοινό. Το βιβλίο του An Introduction to Quantum Physics κυκλοφόρησε πρόσφατα από τον εκδοτικό οίκο Wiley. Το 2003 ανακηρύχτηκε σε επίτιμο διδάκτορα του Πανεπιστημίου Κρήτης ενώ το 2012 του απονεμήθηκε το Εθνικό βραβείο εξαίρετης πανεπιστημιακής διδασκαλίας Ξανθόπουλου - Πνευματικού. Για το σύνολο της προσφοράς του τιμήθηκε το 2015 με τον Ανώτερο Ταξιάρχη του Φοίνικα της Ελληνικής Δημοκρατίας. Ως ιδρυτικό μέλος και διευθυντής των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας μέχρι το 2013, είχε τη βασική ευθύνη για τη δημιουργία του πρώτου πανεπιστημιακού εκδοτικού οίκου της χώρας. Τα τελευταία χρόνια το ενδιαφέρον του στράφηκε στα ανοικτά διαδικτυακά μαθήματα και τους νέους δρόμους που αυτά ανοίγουν για την εξίσωση των ευκαιριών στην ποιοτική εκπαίδευση. Πιστεύει ότι η χώρα μας δεν μπορεί να μείνει έξω από τις επαναστατικές αλλαγές που συντελούνται αλλού σε αυτό το θέμα και γι’ αυτόν το σκοπό πήρε την πρωτοβουλία για την ίδρυση του Mathesis —ενός αυτόνομου και αυτοχρηματοδοτούμενου τμήματος των ΠΕΚ— στο οποίο και προσφέρει εθελοντικά την εργασία του τόσο ως διευθυντής του (πλήρους και αποκλειστικής απασχόλησης) όσο και ως δάσκαλος ή συγγραφέας. Η επιτυχία του «πειράματος» είναι το προσωπικό του στοίχημα για τα επόμενα χρόνια.


Εθελοντής βοηθός μαθήματος

Βασίλης Mπίνας Βαλαβάνης (Vasilis_Βinas)

Συντελεστές

Βιντεοσκόπηση: Δημήτρης Βουδούρης
Μοντάζ: Δημήτρης Βουδούρης
Προγραμματισμός ασκήσεων: Δημήτρης Αγγελάκης

Η βιντεοσκόπηση έγινε στο στούντιο του Mathesis στο Ηράκλειο τον χειμώνα του 2019.

Κατά την πρώτη φορά που προσφέρθηκε το μάθημα οι φοιτητές του (63 απαντήσεις) αξιολόγησαν το μάθημα από τα ερωτηματολόγια εξόδου ως εξής:

Είστε ικανοποιημένος απ' αυτό που μάθατε σε σχέση μ' αυτό που περιμένατε;

Πολύ ικανοποιημένος: 73%
Ικανοποιημένος: 25%
Λίγο ικανοποιημένος: 0%
Καθόλου ικανοποιημένος: 2%

Έγραψαν για το μάθημα

Ήταν πράγματι ένα από τα καλύτερα μαθήματα του Μathesis. Κατάφερα να το ολοκληρώσω, αν και χωρίς βαθύ μαθηματικό υπόβαθρο, και αυτό οφείλεται στη χαρισματική διδασκαλία του κ. Τραχανά, ο οποίος καταφέρνει με πολλούς τρόπους (που βέβαια βασίζονται στη βαθύτατη γνώση των θεμάτων που διδάσκει) να μεταδώσει δρόμους κατανόησης που διαφορετικά θα ήταν απρόσιτοι και συγχρόνως να σε απαλλάξει από το δέος και την ανασφάλεια που μπορεί να προκαλεί η ενασχόληση με τέτοιου επιπέδου θέματα.

Θερμότατες ευχαριστίες και έπαινοι αξίζουν και στους βοηθούς διδασκαλίας, που με υπομονή, ζήλο, ευγένεια και εργατικότητα εξασφάλισαν μια άριστη διδακτική στήριξη και κράτησαν το forum σε πολύ ψηλό επίπεδο.

Σας ευχαριστώ όλους από καρδιάς.

-Άγγελος Α.


Ολοκλήρωσα το μάθημα. Μπορώ να πω ότι πήρα ένα καλό κίνητρο για να διαβάσω λίγο περισσότερο και να ασχοληθώ ξανά με τις διαφορικές εξισώσεις. Ευχαριστώ πολύ τον δάσκαλό μας. Οι τεχνικές που ανέπτυξε, ακόμα και σε αυτό το εισαγωγικό μάθημα που όμως στο τέλος σου ανοίγει το δρόμο για να ακολουθήσεις τα δύσβατα μονοπάτια, η καλλιέργεια του πως να αναγνωρίζεις με μια ματιά τον βαθμό, αν έχει ή δεν έχει πολυωνυμικές ρίζες, τα ομαλά ιδιόμορφα σημεία κτλ. καταπληκτικά. Να ευχαριστήσω τους βοηθούς του μαθήματος για το χρόνο που αφιερώνουν σε όλους εμάς. Οι διαφορικές εξισώσεις που παρακολούθησα και τα τρία μέρη, ήταν από τα μαθήματα που μου έδωσαν μεγάλη ικανοποίηση και κάλυψαν σε ένα βαθμό την όρεξη να καθίσω και πάλι στο θρανίο. Συγχαρητήρια πολλά.
-Μιχάλης Ψ.


Ολοκλήρωσα κ εγώ με τη σειρά μου το μάθημα αυτό (1ο σε αυτήν την διαδικτυακή "τάξη"), παρ' όλο που δυστυχώς δεν είχα τη δυνατότητα να κάνω το ίδιο κ με τα αντίστοιχα μαθήματα των διαφορικών 1 κ 2. Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον καθηγητή μας Κ.Τραχανά, που μας έβαλε σε μονοπάτια των διαφορικών εξισώσεων που ως φοιτητής των μαθηματικών δεν είχα "περπατήσει", και προσωπικά μου έδωσε το έναυσμα για περαιτέρω εμβάθυνση στη κατεύθυνση αυτή! Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τους βοηθούς Κώστα και Κατερίνα, για την άμεση ανταπόκριση κ βοήθεια που μας παρείχαν όλο αυτό το χρονικό διάστημα, χωρίς ίχνος ειρωνείας που θα αντιμετωπίζαμε οπουδήποτε αλλού κάνοντας κάποια "χαζή" ερώτηση. Να είστε όλοι καλά, και εύχομαι να ανταμώσουμε και πάλι σε κάποιο μάθημα.
-Δημήτρης Σ.




Με τη δική σας υποστήριξη συνεχίζουμε


Τα μαθήματα του Mathesis προσφέρονται δωρεάν και έτσι θα συνεχίσουν. Μπορείτε να τα παρακολουθήσετε μέχρι τέλους και να συμμετέχετε στα εβδομαδιαία τεστ και την τελική εξέταση. Στα περισσότερα μαθήματα θα σας ζητείται όμως ένα μικρό αντίτιμο –της τάξης των 20€– για την έκδοση της βεβαίωσης επιτυχούς παρακολούθησης, εφόσον βέβαια την δικαιούστε έχοντας εξασφαλίσει την απαιτούμενη ελάχιστη επίδοση του 50%. Για τους ανέργους η βεβαίωση χορηγείται δωρεάν. Από την πλευρά μας θεωρούμε αυτό το μικρό αντίτιμο ως την αναγκαία συμβολή σας για τη συνέχιση της λειτουργίας ενός θεσμού που υπηρετεί δημόσιους σκοπούς χωρίς να δέχεται ούτε ένα ευρώ –άμεσης ή έμμεσης– κρατικής ενίσχυσης. Βασίζεται μόνο σε δωρητική στήριξη —η οποία καλύπτει πλέον μόνο ένα μικρό μέρος των ετήσιων δαπανών του— και εθελοντική εργασία. Η συνέχιση της λειτουργίας του Mathesis απαιτεί λοιπόν και τη δική σας ενεργό στήριξη. Σε αυτό το πνεύμα θεωρούμε αναγκαίο πριν τη συμμετοχή σας στην τελική εξέταση του μαθήματος να αναλάβετε μια ηθική δέσμευση απέναντι στο Mathesis. Ότι αν ολοκληρώσετε επιτυχώς το μάθημα και δικαιούστε τη βεβαίωση παρακολούθησης, θα καταβάλετε το αντίτιμο των 20€ για την απόκτησή της, έστω κι αν δεν έχει μια προφανή χρησιμότητα για σας. Ένα μικρό βήμα για σας, μια αναγκαία συνθήκη όμως για τη δυνατότητα του Mathesis να σας προσφέρει την ποιότητα μαθημάτων που σας προσέφερε μέχρι τώρα.

Σημαντική προσθήκη: Σας ενημερώνουμε επίσης ότι όσοι δεν έχουν εκπληρώσει την ηθική δέσμευση που έχουν αναλάβει σε περισσότερα από 2 μαθήματα των οποίων οι προθεσμίες πληρωμής έχουν λήξει, στα νέα μαθήματα που τυχόν παρακολουθήσουν δεν θα έχουν πρόσβαση στην τελική τους εξέταση, υπό τον όρο βέβαια ότι η μη τήρηση της δέσμευσής τους συνεχίζεται.

  1. Κωδικός Μαθήματος

    ΜΑΘ2.3
  2. Έναρξη Μαθήματος

    11/10/2021
  3. Προσπάθεια

    40 ώρες
  4. Διάρκεια

    5 εβδομάδες
  5. Παρακολούθηση

    Δωρεάν
  6. Κόστος Βεβαίωσης

    20€
Enroll