Εισαγωγή στην Κβαντική Φυσική 1: Οι βασικές αρχές (Ε)

Περιγραφή του μαθήματος

Γιατί τα άτομα συμπεριφέρονται ως συμπαγή και ασυμπίεστα σφαιρίδια ενώ είναι τελείως κούφια; Γιατί ένα άτομο οξυγόνου «βγαίνει» πάντα το ίδιο ακόμα και αν το διαλύσουμε και «ρίξουμε» ξανά τα ηλεκτρόνιά του γύρω από τον πυρήνα; Γιατί ο πυρήνας είναι γίγαντας ενέργειας ενώ είναι νάνος μεγέθους; Έχει σχέση αυτό με τη μακροβιότητα του ήλιου μας στην οποία οφείλεται η ανάδυση και η ανέλιξη της ζωής πάνω στη Γη; Πού οφείλεται ο πιθανοκρατικός χαρακτήρας των κβαντικών νόμων; Σε ατελή γνώση των διαδικασιών του μικρόκοσμου, όπως έλεγε ο Αϊνστάιν, ή είναι «στη φύση των πραγμάτων», όπως έλεγε ο Μπορ;

Αν τα παραπάνω ερωτήματα προκαλούν το ενδιαφέρον σας και θα θέλατε να είστε σε θέση να τα απαντήσετε από πρώτες αρχές, τότε ένα μάθημα όπως τούτο εδώ θα σας βοηθήσει να το πετύχετε. Θα σας προσφέρει μια καλή εισαγωγική κατανόηση των βασικών ιδεών της κατεξοχήν θεωρίας που κυβερνά τον κόσμο μας.

Στην τρέχουσα έκδοσή του, το μάθημα έχει προσαρμοστεί ειδικά για καθηγητές Λυκείου, οι οποίοι φέτος καλούνται για πρώτη φορά να διδάξουν μια στοιχειώδη εισαγωγή στις βασικές έννοιες της κβαντομηχανικής. Το μάθημα περιλαμβάνει σχεδόν όλα τα διδασκόμενα στο Λύκειο θέματα, ενώ η τελευταία του εβδομάδα πάει και ένα μικρό βήμα πιο πέρα.

Επιπλέον

α) Το μάθημα θα παραμείνει ανοικτό για αρκετά περισσότερο χρόνο από την τυπική του διάρκεια, ώστε να μπορέσουν να το παρακολουθήσουν και όσοι ενδιαφερθούν γι' αυτό με κάποια χρονική υστέρηση.

β) Σε τακτά διαστήματα –π.χ. όταν ολοκληρώνεται ένα σημαντικό κομμάτι ύλης– θα υπάρχουν προαιρετικές «ζωντανές» συναντήσεις με τους διδάσκοντες μέσω zoom, για να συζητούνται απορίες.

γ) Ο χώρος της συζήτησης φιλοδοξούμε να έχει έναν κεντρικό ρόλο∙ να γίνει ένα βήμα διαλόγου, όχι μόνο για συζήτηση κάθε δυνατής απορίας αλλά και για ανταλλαγή απόψεων μεταξύ των συμμετεχόντων πάνω στη διδακτική προσέγγιση ενός θέματος, με παρεμβάσεις των διδασκόντων όπου είναι αναγκαίο.

δ) Tέλος, το υλικό του μαθήματος συμπεριλαμβάνει (εννοείται, δωρεάν) και την ηλεκτρονική έκδοση του βιβλίου του Στέφανου Τραχανά Στοιχειώδης Κβαντική Φυσική, ΠΕΚ 2012.

Τι θα μπορείτε να κάνετε στο τέλος του μαθήματος

Θα είστε σε θέση να εξηγήσετε πώς η αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού -η θεμελιώδης αρχή του κβαντικού κόσμου- αναδύθηκε μέσα από τη χρεωκοπία της κλασικής φυσικής όταν βρέθηκε αντιμέτωπη με ανεξήγητα φαινόμενα, όπως η θερμική ακτινοβολία των σωμάτων και η μυστηριώδης σταθερότητα των ατόμων.
Θα έχετε καταλάβει και θα μπορείτε να εξηγήσετε πώς η αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού οδηγεί φυσιολογικά στην εξίσωση Shrödinger και γιατί η πιθανοκρατική ερμηνεία των λύσεών της είναι αναπόφευκτη.
Θα μπορείτε να λύνετε μόνοι σας την εξίσωση Schrödinger σε απλά φυσικά συστήματα, όπως το άτομο του υδρογόνου, και να προβλέπετε, από πρώτες αρχές, θεμελιώδη χαρακτηριστικά του, όπως το μέγεθος και το έργο ιοντισμού του.
Θα έχετε καταλάβει και θα μπορείτε να εξηγήσετε το περιεχόμενο της αρχής της αβεβαιότητας και να την εφαρμόζετε για να εξηγείτε τα βασικά μυστήρια του μικρόκοσμου, όπως τη σταθερότητα και το ασυμπίεστο των ατόμων και το τεράστιο μέγεθος των πυρηνικών ενεργειών.
Θα μπορείτε να εξηγήσετε την αρχή λειτουργίας τεχνολογικών επιτευγμάτων όπως το ηλεκτρονικό μικροσκόπιο και γιατί η χρήση του ήταν ένα επαναστατικό βήμα για τις βιοεπιστήμες.
Θα μπορείτε τέλος να απαντάτε σε καθημερινές ερωτήσεις, όπως: Γιατί οι υψίσυχνες ακτινοβολίες έχουν χημική δραστικότητα, ενώ οι βαθύσυχνες όχι; Έχει χημική επικινδυνότητα η ακτινοβολία από το φούρνο μικροκυμάτων, το κινητό ή την τηλεόρασή μας; Είναι λογικό να πιστεύουμε -όπως έκαναν πολλοί κατά το πυρηνικό ατύχημα του Τσέρνομπιλ- ότι βράζοντας καλά τα χόρτα που εκτέθηκαν στη ραδιενεργό βροχή θα προφυλαχτούμε από τη ραδιενέργεια που μάζεψαν;

Όσο κι αν σας προξενεί έκπληξη, η κβαντική φυσική έχει πολύ στενότερη σχέση με όσα συμβαίνουν γύρω μας απ' ό,τι η κλασική φυσική.

Προαπαιτούμενα

Φυσική λυκείου και στοιχειώδης απειροστικός λογισμός.

Διδάσκoντες

Στέφανος Τραχανάς

Ο Στέφανος Τραχανάς διδάσκει, μεταξύ άλλων, κβαντική φυσική και διαφορικές εξισώσεις στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης από το 1983 έως σήμερα. Από το 1986 και μετά είναι μέλος του επιστημονικού προσωπικού του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας και η διδασκαλία του στο τμήμα Φυσικής προσφέρεται δωρεάν. Είναι συγγραφέας έντεκα πανεπιστημιακών συγγραμμάτων στα παραπάνω πεδία καθώς και των βιβλίων Το φάντασμα της όπερας: Η επιστήμη στον πολιτισμό μας και Το αμάρτημα της Εύας: Φυσική κάτω από τ’ άστρα και δημιουργική μάθηση, τα οποία απευθύνονται στο ευρύτερο μορφωμένο κοινό. Το βιβλίο του An Introduction to Quantum Physics κυκλοφορεί από τον εκδοτικό οίκο Wiley. Το 2003 ανακηρύχτηκε σε επίτιμο διδάκτορα του Πανεπιστημίου Κρήτης, ενώ το 2012 του απονεμήθηκε το Εθνικό βραβείο εξαίρετης πανεπιστημιακής διδασκαλίας Ξανθόπουλου - Πνευματικού. Για το σύνολο της προσφοράς του τιμήθηκε το 2015 με τον Ανώτερο Ταξιάρχη του Φοίνικα της Ελληνικής Δημοκρατίας. Το 2022 το τμήμα φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης έδωσε το όνομά του σε ένα από τα αμφιθέατρά του και το 2023 ο Δήμος Ηρακλείου του απένειμε το βραβείο ηθικής τάξεως της πόλης. Ως ιδρυτικό μέλος και διευθυντής των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας μέχρι το 2013, είχε τη βασική ευθύνη για τη δημιουργία του πρώτου πανεπιστημιακού εκδοτικού οίκου της χώρας. Τα τελευταία χρόνια το ενδιαφέρον του στράφηκε στα ανοικτά διαδικτυακά μαθήματα και τους νέους δρόμους που αυτά ανοίγουν για την εξίσωση των ευκαιριών στην ποιοτική εκπαίδευση. Πιστεύει ότι η χώρα μας δεν μπορεί να μείνει έξω από τις επαναστατικές αλλαγές που συντελούνται αλλού σε αυτό το θέμα και γι’ αυτόν το σκοπό πήρε την πρωτοβουλία για την ίδρυση του Mathesis —ενός αυτόνομου και αυτοχρηματοδοτούμενου τμήματος των ΠΕΚ— στο οποίο και προσφέρει εθελοντικά την εργασία του τόσο ως διευθυντής του (πλήρους και αποκλειστικής απασχόλησης) όσο και ως δάσκαλος ή συγγραφέας. Η επιτυχία του «πειράματος» είναι το προσωπικό του στοίχημα για τα επόμενα χρόνια.

Γιάννης Καραδάμογλου

Ο Γιάννης Καραδάμογλου έλαβε το πτυχίο Φυσικής από το Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης και το Διδακτορικό του Δίπλωμα στη Φυσική από το Πανεπιστήμιο Κρήτης. Στη συνέχεια εργάστηκε για τρία χρόνια ως μεταδιδακτορικός ερευνητής στο Πανεπιστήμιο του Fribourg στην Ελβετία, ενώ κατόπιν, μετά την ολοκλήρωση της στρατιωτικής του θητείας, εργάστηκε για τρία χρόνια ως συνεργαζόμενος ερευνητής στο Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής Δομής και Λέιζερ του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας. Στη συνέχεια εγκατέλειψε την έρευνα και εργάστηκε για δέκα χρόνια ως καθηγητής της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, τόσο σε γυμνάσια όσο και σε λύκεια. Εκεί είχε την ευκαιρία να ανακαλύψει ότι η διδασκαλία της φυσικής είναι τέχνη ιδιαίτερα απαιτητική αλλά ταυτόχρονα πολύ ενδιαφέρουσα και δημιουργική. Από το 2017 εργάζεται στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης ως Εργαστηριακό Διδακτικό Προσωπικό, όπου προσπαθεί να προσαρμόσει όσα έμαθε για τη διδασκαλία της σχολικής φυσικής στη διδασκαλία των πανεπιστημιακών μαθημάτων. Σε αυτή του την προσπάθεια έχει την τύχη να συνεργάζεται με τον παλιό του δάσκαλο κ. Στέφανο Τραχανά ο οποίος εξακολουθεί να αποτελεί πηγή έμπνευσης και γνώσης όχι μόνο για τους φοιτητές αλλά και για τους συνεργάτες του.

Συντελεστές

Βιντεοσκόπηση, μοντάζ, προγραμματισμός ασκήσεων και αυτοανανεούμενης τράπεζας θεμάτων τελικής εξέτασης: Νίκος Γκικόπουλος

Η βιντεοσκόπηση έγινε στο γραφείο του Στέφανου Τραχανά στο Ηράκλειο, το φθινόπωρο του 2014.

Αξιολόγηση του μαθήματος από τους φοιτητές του

Κατά την πρώτη φορά που προσφέρθηκε το μάθημα οι φοιτητές του (505 απαντήσεις) αξιολόγησαν το μάθημα από τα ερωτηματολόγια εξόδου ως εξής:

Είστε ικανοποιημένος απ' αυτό που μάθατε σε σχέση μ' αυτό που περιμένατε;

Πολύ ικανοποιημένος: 62%
Ικανοποιημένος: 33%
Λίγο ικανοποιημένος: 4%
Καθόλου ικανοποιημένος: 1%

Έγραψαν για το μάθημα

Είμαι εκπαιδευτικός σε Λύκειο και μπορώ να πω με σιγουριά ότι η παρακολούθηση του μαθήματος, πέρα απο τα γνωστικά εφόδια, μου έδωσε και πολλές ιδέες για τον τρόπο που μπορώ να αντιμετωπίζω και να παρουσιάζω δύσκολες έννοιες στα "δικά" μου παιδιά.
-Νίκος Α.

Θέλω κι εγώ να ευχαριστήσω και να συγχαρώ θερμά την ομάδα του Mathesis και ειδικά τον καθηγητή κ. Τραχανά για την αποτελεσματική οργάνωση και διδασκαλία ενός τόσο προχωρημένου επιστημονικού θέματος. Ήταν για εμένα μία ανέλπιστη ευκαιρία ανάταξης των γνώσεων που είχα από τα φοιτητικά μου χρόνια (Σχολή Μ-Η, ΕΜΠ, 1959-1964) αλλά και εμπλουτισμού τους με τη σύγχρονη επιστημονική σύλληψη για τα τόσο θαυμαστά στοιχεία του κόσμου μας.
-Χρυσόστομος Ο.

Aπό την πλευρά μου, είμαι μια νέα Φυσικός που δεν προχώρησε σε μεταπτυχιακές σπουδές και εργάζεται στην επαρχία. Τα MOOCs καλύπτουν ένα μεγάλο "κενό"[...] Και, πιστέψτε με, δεδομένου ότι έχω παρακολουθήσει αρκετά ξένα MOOCs, το διαδικτυακό μάθημα του κ. Τραχανά είναι εφάμιλλο των ξένων. Για αυτό, με κάθε ευκαιρία, μιλώ σε φίλους και γνωστούς για το Mathesis!
-Γιώτα Τ.

Αισθάνομαι την ανάγκη να ευχαριστήσω όλη την ομάδα του Mathesis καθώς και τον αξιότιμο καθηγητή κ. Τραχανά! Είμαι ευτυχής που, στα εβδομήντα δύο μου χρόνια, βρέθηκα πάλι μετά από 40 χρόνια περίπου, τότε που -υπηρετώντας στον "Δημόκριτο"- υποστήριξα σαν ηλεκτρονικός την ομάδα του DELPHI στο CERN, στη Γενεύη [...]. Φυσικά, ποτέ δεν περίμενα να έλθουν τα πράγματα έτσι, ώστε μετά από τόσα χρόνια να βρεθώ... να συμμετέχω και να ακούω τις τόσο επαγωγικές και διδακτικές διαλέξεις του κ. καθηγητή. Συγχαρητήρια σε όλους!
-Ανδρέας Σ.

Θεωρώ ότι το επίπεδο του μαθήματος ήταν υψηλό. Ο τρόπος διδασκαλίας του κυρίου Τραχανά υποδειγματικός, έτσι που να καθιστά προσιτές έννοιες που είναι δυσνόητες για πολλούς από εμάς.
-Αριστοτέλης Ζ.

Θέλω να ευχαριστήσω εκ βαθέων την ομάδα του Mathesis για την απίστευτη χαρά που μου έδωσε, στα σαράντα μου χρόνια, να βιώσω τη χαρά της πανεπιστημιακής εκπαίδευσης. Είμαι Φυσικός και έχω να πω ότι ο κ. Τραχανάς είναι υπόδειγμα για το πώς πρέπει να είναι οι καθηγητές στο πανεπιστήμιο. Από τα φοιτητικά μου χρόνια, μου έκανε εντύπωση το βιβλίο του "Διαφορικές Εξισώσεις" με το οποίο πέρασα το αντίστοιχο ΜΜΦ. Σε μεγάλο βαθμό, το συγκεκριμένο βιβλίο μού έδωσε την άνεση να μην παρακολουθήσω το αντίστοιχο μάθημα, καθότι ήταν γραμμένο σε ύφος διάλεξης. Δε θέλω να κάνω διαφήμιση (δε χρειάζεται άλλωστε), αλλά από τότε είχα φανταστεί τον κ. Τραχανά σαν υπόδειγμα.
-Αναστάσιος Γ.

Σας είμαι ευγνώμων για τις γνώσεις που μας προσφέρατε και για τη δυνατότητα που μας δώσατε να προσεγγίσουμε αλήθειες που έχουν σχέση με τη λειτουργία του φυσικού μας κόσμου[...]. Στο περιβάλλον μου λέω ότι "πλέω σε πελάγη ευτυχίας" με το "σκαρί" του Mathesis.
-Σταυρούλα Κ-Z.

Μέσα από τις διαλέξεις του κ. Τραχανά έμαθα πώς να σκέφτομαι, να κατανοώ και να μαθαίνω και τις πιο δύσκολες έννοιες.
-Στυλιανός Κ.

Θερμά συγχαρητήρια στον κ. Τραχανά και στην ομάδα του Μathesis. Ο τρόπος και ο ζήλος με τον οποίο παρουσιάστηκε το μάθημα με εντυπωσίασε και σαν εκπαιδευτικό. Το θεωρώ σαν γενικότερο μάθημα και όχι μόνο σαν ένα μάθημα κβαντικής φυσικής. Πραγματικά, εκπληκτικό το όλο εγχείρημα, αψεγάδιαστο θα έλεγα· τα βίντεο, το υλικό, όλα καταπληκτικά. Και φυσικά, ακόμη πιο εντυπωσιακό είναι το γεγονός ότι απευθυνθήκατε σε πολύ ετερογενείς ομάδες ανθρώπων με τέτοια επιτυχία.
-Αγγελική Χ.

Σημαντική Σημείωση

Τα μαθήματα του Mathesis προσφέρονται δωρεάν και έτσι θα συνεχίσουν. Στο συγκεκριμένο μάθημα εκτός από την παρακολούθηση και η έκδοση βεβαίωσης επιτυχούς παρακολούθησης χορηγείται —σε όσους την επιθυμούν και τη δικαιούνται βάσει της επίδοσής τους— απολύτως δωρεάν από το Mathesis, σε μία συμβολική χειρονομία υποστήριξης προς τους καθηγητές της Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης.

Αναλυτικός Οδηγός του Μαθήματος - Συχνές ερωτήσεις

1. Σε ποιους απευθύνεται το μάθημα; Μπορεί να το παρακολουθήσει και να εξεταστεί σε αυτό οποιοσδήποτε το επιθυμεί;

2. Από πού θα διαβάσω; Ποιο είναι το βιβλίο του μαθήματος; Θα χρειαστώ και κάποια πρόσθετη βιβλιογραφία;

Η μεγάλη καινοτομία τούτου του ανοικτού διαδικτυακού μαθήματος είναι το ηλεκτρονικό βιβλίο που το συνοδεύει και το οποίο θα είναι στο επίκεντρο της μελέτης σας. Πρόκειται στην πραγµατικότητα για ένα ηλεκτρονικό βιβλίο νέου τύπου –ένα «πολυ-βιβλίο»– γραµµένο και σχεδιασµένο ειδικά για τις ανάγκες της ανοικτής διαδικτυακής εκπαίδευσης. Όπως θα δείτε, το βιβλίο είναι χωρισµένο σε σαράντα αυτόνοµα µαθήµατα µε µονοσέλιδη σύνοψη της βασικής θεωρίας τού καθενός και µε δυνατότητα άµεσης αυτοεξέτασης, µέσω ενός τεστ πολαπλής επιλογής που έρχεται στην οθόνη του υπολογιστή σας µε ένα ειδικό κουµπί στο κάτω αριστερό µέρος της βασικής σελίδας του µαθήµατος. Πατώντας κατάλληλα σηµεία επί της ίδιας βασικής σελίδας φέρνετε επίσης στην οθόνη σας –υπό µορφή «παραθύρων»– χρήσιµες πρόσθετες διευκρινίσεις πάνω στο περιεχόµενο του µαθήµατος, καθώς και λυµένα σχετικά παραδείγµατα. Άλλα πέντε κουµπιά, στο κάτω δεξιό µέρος της βασικής σελίδας, σας προσφέρουν ισάριθµες προαιρετικές επιλογές όπως:

α) Να πάτε στην «Αίθουσα διαλέξεων» για να παρακολουθήσετε ένα βιντεοσκοπηµένο µάθηµα πάνω στο αντικείµενο του συγκεκριµένου µαθήµατος.

β) Να πάτε στο «Εργαστήριο» για να δείτε ένα βιντεοσκοπηµένο πείραµα ή να εκτελέσετε ένα πείραµα προσοµοίωσης πάνω στο ίδιο αντικείµενο.

γ) Να πάτε στη «Βιβλιοθήκη» για να διαβάσετε µια σύντοµη βιογραφία του φυσικού που συνδέεται µε το συγκεκριµένο µάθηµα ή µια σύντοµη (αλλά σαφή) περιγραφή µιας σηµαντικής τεχνολογικής ανακάλυψης που επίσης συνδέεται µε το µάθηµα αυτό.

δ) Να πάτε στην «Πρόσθετη Βοήθεια» για να βρείτε –όπου υπάρχει– ένα σύντοµο φροντιστηριακό µάθηµα πάνω σε ένα από τα θέµατα –συνήθως κάποιο κενό σε προαπαιτούµενη γνώση– πάνω στο οποίο είναι διαπιστωµένο ότι συναντάτε δυσκολίες.

ε) Να πάτε, τέλος, στο FORUM για να µοιραστείτε –και να λύσετε– τις απορίες σας σε ελεύθερο ανοικτό διάλογο µε τους συναδέλφους σας που παρακολουθούν το ίδιο µάθηµα. Και να αποκοµίσετε έτσι –εκτός των άλλων– και µια πολύτιµη εµπειρία σε συνεργατική µάθηση.

Το βιβλίο χωρίζεται σε πέντε θεµατικές ενότητες –σε πέντε µέρη– µε δέκα µαθήµατα καθεµιά από τις τρεις πρώτες και από πέντε οι δύο τελευταίες. Στο τέλος καθενός από αυτά τα µέρη υπάρχει ένα συγκεντρωτικό τεστ αυτοαξιολόγησης καθώς και µια σειρά συµβατικών προβληµάτων, πλην του μέρους Δ για το οποίο η σχετική σειρά έχει συγχωνευθεί με εκείνη του μέρους Ε. Τρία συγκεντρωτικά τεστ (εφ' όλης της ύλης) υπάρχουν επίσης στο τέλος του βιβλίου.

Ως προς την πρόσθετη βιβλιογραφία η απάντηση είναι κατηγορηματική. Από τη σκοπιά των καθαρά εξεταστικών απαιτήσεων του μαθήματος το ηλεκτρονικό του βιβλίο –όπως θα διαπιστώσετε και μόνοι σας– καλύπτει πλήρως τις ανάγκες σας. Και επιπλέον σας βοηθά να καλλιεργήσετε έναν πιο ενεργητικό τρόπο μάθησης που εστιάζεται περισσότερο στην επίλυση προβλημάτων παρά στην πολύωρη παθητική μελέτη της θεωρίας. Σας καλύπτει όμως και για έναν πρόσθετο λόγο. Τόσο οι ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής όσο και τα συμβατικά προβλήματα που θα δοθούν στην τελική εξέταση (βλ. Ερ. 6) θα προέρχονται –με το πολύ αριθμητικές παραλλαγές τους– από τα τεστ και τις σειρές προβλημάτων που δίνονται στο βιβλίο. Δεν πρέπει επομένως να αισθάνεστε την παραμικρή ανασφάλεια ως προς το είδος των θεμάτων που θα σας ζητηθούν στις εξετάσεις. Επικεντρώστε την προσοχή σας στην επίλυση των τεστ και των συμβατικών προβλημάτων που δίνονται στο βιβλίο και αυτά θα σας καθοδηγήσουν και για το ποια είναι εκείνα τα σημεία της θεωρίας στα οποία πρέπει να εστιάσετε την προσοχή σας. Όλο το ηλεκτρονικό βιβλίο του μαθήματος γράφηκε ακριβώς για να ενθαρρύνει μια τέτοια διαδικασία μάθησης.

Η πρόσθετη βιβλιογραφία δεν θα σας χρειαστεί λοιπόν ούτε για να περάσετε το μάθημα ούτε και να βελτιώσετε τις προοπτικές σας για μια ικανοποιητική επίδοση. Θα σας χρειαστεί όμως για να πάτε ένα βήμα πιο πέρα. Να εθιστείτε στη χαρά που μπορεί να προσφέρει η βαθύτερη κατανόηση των πραγμάτων. Ένας εθισμός που αν πραγματικά τον αποκτήσετε μπορεί να σας πάει πολύ μακριά. Γι’ αυτό το σκοπό λοιπόν –και μόνο για όσους αισθάνονται την ανάγκη να πάνε λίγο πιο πέρα από βαθμούς και εξετάσεις– στην «Πρόσθετη Βοήθεια» κάθε μαθήματος (υπό τον τίτλο Προαιρετική Μελέτη) δίνονται παραπομπές σε συγκεκριμένες σελίδες δύο βιβλίων (και κάποιων άλλων αργότερα) που η μελέτη τους σίγουρα θα σας βοηθήσει να κάνετε αυτό το «μικρό βήμα μπροστά» με τις μεγάλες όμως πιθανές συνέπειες για το μέλλον σας.