Περιγραφή του μαθήματος
Στα πρώτα μαθήματα μηχανικής μαθαίνουμε ότι, αν γνωρίζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα, τότε ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα αρκεί για να προσδιορίσουμε την κίνησή του. Αυτό όμως δεν είναι πάντοτε αρκετό. Σε πολλά συστήματα η κίνηση περιορίζεται από δεσμούς, και τότε εμφανίζονται δυνάμεις που δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων, αλλά καθορίζονται από την ίδια την κίνηση. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η μπίλια που κινείται στο αυλάκι μιας ρουλέτας: η δύναμη που ασκεί το αυλάκι δεν είναι μια δεδομένη δύναμη όπως το βάρος, αλλά εξαρτάται από την ταχύτητα και την τροχιά της χάντρας. Έτσι γίνεται φανερό ότι η Νευτώνεια διατύπωση, αν και θεμελιώδης, δεν είναι πάντα η πιο φυσική ή η πιο αποτελεσματική γλώσσα για την περιγραφή της κίνησης.
Αυτό ακριβώς το κενό έρχεται να καλύψει η Αναλυτική Μηχανική. Αντί να ξεκινά από τις επιμέρους δυνάμεις, περιγράφει την κίνηση με όρους γενικευμένων συντεταγμένων και αρχών που ενσωματώνουν εξαρχής τους περιορισμούς του συστήματος. Με αυτόν τον τρόπο προσφέρει ένα ενιαίο, κομψό και ισχυρό πλαίσιο για τη μελέτη της κλασικής μηχανικής, αλλά και το απαραίτητο υπόβαθρο για τη μετάβαση στη σύγχρονη θεωρητική φυσική.
Το μάθημα αποτελεί εισαγωγή στην Αναλυτική Κλασική Μηχανική για όσους γνωρίζουν ήδη τη βασική Νευτώνεια Μηχανική. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζεται η λαγκρανζιανή διατύπωση, με αφετηρία την αρχή του d’Alembert, και στη συνέχεια οι εξισώσεις Euler–Lagrange προκύπτουν από την αρχή της ελάχιστης δράσης του Hamilton. Μέσα από αυτή τη νέα οπτική αναδεικνύεται μια διατύπωση της μηχανικής που υπερβαίνει το αποκλειστικά νευτώνειο σχήμα και ανοίγει τον δρόμο προς τη θεωρητική φυσική του 20ού αιώνα, όπως η κβαντομηχανική και η γενική σχετικότητα. Παρουσιάζεται επίσης, σε εισαγωγικό επίπεδο, το θεώρημα της Noether, ώστε να φανεί η σχέση ανάμεσα στις συμμετρίες της φύσης και στους νόμους διατήρησης, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο μπορούν να αναγνωριστούν διατηρήσιμα μεγέθη από τη μορφή της Λαγκρανζιανής. Το μέρος αυτό ολοκληρώνεται με μια πρώτη εισαγωγή στη χαμιλτονιανή διατύπωση και στις κανονικές εξισώσεις κίνησης.
Στο δεύτερο μέρος του μαθήματος η αναλυτική μηχανική εφαρμόζεται στη μελέτη της κίνησης του στερεού σώματος. Εισάγονται οι γωνίες Euler, η γενική περιγραφή της θέσης και του προσανατολισμού ενός στερεού σώματος, καθώς και η γενική έκφραση της κινητικής του ενέργειας. Παρουσιάζονται οι ροπές αδράνειας, ο τανυστής αδράνειας και οι κύριοι άξονες, και ακολουθεί η μελέτη χαρακτηριστικών παραδειγμάτων, όπως η περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα, το φυσικό εκκρεμές, η σβούρα και το tippe top, όλα μέσα στο πλαίσιο της λαγκρανζιανής προσέγγισης. Στόχος του μαθήματος είναι να προσφέρει όχι μόνο τεχνικά εργαλεία για την επίλυση προβλημάτων, αλλά και μια βαθύτερη κατανόηση των εννοιών που συνδέουν την κλασική μηχανική με τη σύγχρονη φυσική.
Προαπαιτούμενα: Διαφορικός λογισμός, διανυσματική ανάλυση, διαφορικές εξισώσεις, Νευτώνεια μηχανική
Διδάσκων
Κώστας Τάσσης
Ο Κώστας Τάσσης είναι καθηγητής Θεωρητικής Αστροφυσικής στο Πανεπιστήμιο Κρήτης. Πήρε πτυχίο στη Φυσική από το Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης και διδακτορικό στην Αστροφυσική από το Πανεπιστήμιο του Ιλλινόις. Εργάστηκε ως μεταδιδακτορικός υπότροφος στο Ινστιτούτο Κοσμολογίας του Πανεπιστημίου του Σικάγο από το 2005 έως το 2008, στο JPL της NASA από το 2008 έως το 2011, και στο Ινστιτούτο Max Planck στη Βόννη από το 2011 έως το 2012 οπότε και στη συνέχεια μετακινήθηκε στην Κρήτη. Τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα επικεντρώνονται στη θεωρία της Αστρικής Γένεσης, τη Φυσική του Πλάσματος (Μαγνητοϋδροδυναμική) και την Κοσμολογία. Ηγείται του διεθνούς πειράματος PASIPHAE (http://pasiphae.science), που στοχεύει στην χαρτογράφηση του διαστρικού μαγνητικού πεδίου και της διαστρικής μαγνητικής σκόνης στο Γαλαξία μας, ώστε να καταστεί δυνατή η ανίχνευση του αποτυπώματος των πρώτων στιγμών του Σύμπαντος.
Εθελόντρια βοηθός μαθήματος
Χρυσή Κουκουράκη
Εβδομάδα 1: Από τον Νεύτωνα στον φορμαλισμό Lagrange
1.1 Περιορισμένη κίνηση
1.1.1 Εισαγωγή
1.1.2 Κίνηση υπό περιορισμούς
1.1.3 Δυνάμεις αντίδρασης δεσμών
1.1.4 Βαθμοί ελευθερίας
1.1.5 Είδη δεσμών
1.1.6 Γενικός προσδιορισμός αντιδράσεων δεσμών
1.1.7 Αρχή δυνατών έργων
1.1.8 Συνθήκη ισορροπίας
1.2 Εξαγωγή των εξισώσεων Euler-Lagrange από την αρχή του D’ Alembert
1.2.1 Αρχή D’ Alembert
1.2.2 Γενικευμένες δυνάμεις
1.2.3 Εξισώσεις Euler-Lagrange
1.2.4 Η συνάρτηση Lagrange (Λαγκρανζιανή)
1.3 Εξαγωγή των εξισώσεων Euler-Lagrange από την αρχή του D’ Alembert
1.3.1 Αντιστοιχία εξισώσεων Euler-Lagrange και δεύτερου νόμου Νεύτωνα
1.3.2 Εξισώσεις Euler-Lagrange για ελεύθερη κίνηση σώματος στο επίπεδο
1.3.3 Εξισώσεις Euler-Lagrange για ελεύθερη κίνηση στο επίπεδο υπό την επίδραση μη διατηρητικών δυνάμεων
1.3.4 Απλό εκκρεμές a la Νεύτωνα
1.3.5 Απλό εκκρεμές a la Lagrange
1.3.6 Απλό εκκρεμές a la Lagrange, αλλιώς
1.3.7 Επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς a la Lagrange
Εβδομάδα 2: Hamilton και Noether
2.1 Οι εξισώσεις Euler-Lagrange από την αρχή ελάχιστης δράσης
2.1.1 Η αρχή ελάχιστης δράσης
2.1.2 Ο πρώτος νόμος Νεύτωνα από την αρχή ελάχιστης δράσης
2.1.3 Οι εξισώσεις Euler-Lagrange από την αρχή ελάχιστης δράσης
2.2 Οι εξισώσεις Euler-Lagrange και τα ολοκληρώματα της κίνησης
2.2.1 Αγνοήσιμες συντεταγμένες
2.2.2 Παράδειγμα πεδίου κεντρικών δυνάμεων με πολικές συντεταγμένες
2.2.3 Παράδειγμα πεδίου κεντρικών δυνάμεων με καρτεσιανές συντεταγμένες
2.2.4 Δεύτερο παράδειγμα με κυκλική συντεταγμένη
2.2.5 Ολοκλήρωμα Jacobi
2.2.6 Ολοκλήρωμα της Ενέργειας
2.2.7 Το ολοκλήρωμα Jacobi σε πεδίο κεντρικών δυνάμεων
2.2.8 Όταν το ολοκλήρωμα Jacobi υπάρχει αλλά δεν είναι ίσο με την ενέργεια
2.3 Το θεώρημα Noether και οι κανονικές εξισώσεις
2.3.1 Η ομογένεια του χρόνου και η διατήρηση της ενέργειας
2.3.2 Η ομογένεια του χώρου και η διατήρηση της γραμμικής ορμής
2.3.3 Η ισοτροπία του χώρου και η διατήρηση της στροφορμής
2.3.4 Η Χαμιλτονιανή συνάρτηση και οι κανονικές εξισώσεις
2.3.5 Οι κανονικές εξισώσεις του αρμονικού ταλαντωτή
Για διασκέδαση!
Veritasium: The Closest We’ve Come to a Theory of Everything
Veritasium: Something Strange Happens When You Trust Quantum Mechanics
Veritasium: The Biggest Misconception In Physics
Εβδομάδα 3: Στερεό σώμα Ι (βασικές έννοιες)
3.1 Κινηματική στερεού σώματος
3.1.1 Κέντρο μάζας στερεού σώματος
3.1.2 Μεταφορική κίνηση στερεού σώματος
3.1.3 Περιστροφή στερεού γύρω από σταθερό άξονα
3.1.4 Επίπεδη κίνηση στερεού σώματος
3.1.5 Γενική κίνηση στερεού σώματος
3.1.6 Γωνίες Euler
3.1.7 Μετασχηματισμοί στροφής διανύσματος
3.1.8 Ιδιότητες πινάκων στροφής
3.2 Κινητική ενέργεια στερεού σώματος
3.2.1 Γενική έκφραση κινητικής ενέργειας στερεού σώματος
3.2.2 Η κινητική ενέργεια στερεού ως προς το σύστημα του κέντρου μάζας
3.2.3 Η στροφορμή και ο τανυστής αδράνειας στερεού σώματος
3.3 Ροπή αδράνειας στερεού σώματος
3.3.1 Κύριες ροπές αδράνειας στερεού σώματος
3.3.2 Θεώρημα παράλληλων αξόνων
3.3.3 Από άθροισμα σε ολοκλήρωμα
3.3.4 Ροπή αδράνειας ράβδου
3.3.5 Ροπή αδράνειας δίσκου
3.3.6 Θεώρημα επίπεδων σωμάτων
Εβδομάδα 4: Στερεό σώμα ΙΙ (απλές εφαρμογές)
4.1 Περιστροφή στερεού γύρω από σταθερό άξονα
4.1.0 Ανακεφαλαίωση
4.1.1 Περιστροφή στερεού γύρω από σταθερό άξονα a la Lagrange
4.1.2 Περιστροφή στερεού γύρω από σταθερό άξονα a la Νεύτωνα Ι
4.1.3 Περιστροφή στερεού γύρω από σταθερό άξονα a la Νεύτωνα ΙΙ
4.1.4 Φυσικό εκκρεμές
4.2 Εξισώσεις Euler περιστροφής στερεού σώματος
4.2.1 Περιστροφή στερεού γύρω από σταθερό σημείο a la Νεύτωνα
4.2.2 Γωνιακή ταχύτητα στερεού συναρτήσει των γωνιών Euler
4.2.3 Περιστροφή στερεού γύρω από σταθερό σημείο a la Lagrange
4.2.4 Οι εξισώσεις Euler και η κινητική ενέργεια στερεού
4.2.5 Οι εξισώσεις Euler και η στροφορμή στερεού
4.2.6 Μόνιμοι άξονες περιστροφής στερεού
4.2.7 Περιστροφή γύρω από τον μεσαίο άξονα
4.2.8 Ευστάθεια περιστροφής γύρω από τους κύριους άξονες Ι
4.2.9 Ευστάθεια περιστροφής γύρω από τους κύριους άξονες ΙΙ
4.3 Η κίνηση σβούρας
4.3.1 Η σβούρα (επίδειξη)
4.3.2 Η Λαγκρανζιανή της σβούρας
4.3.3 Ολοκληρώματα κίνησης της σβούρας
4.3.4 Το υποθετικό δυναμικό της σβούρας
4.3.5 Κοιμώμενη σβούρα (επίδειξη)
4.3.6 Ευστάθεια κοιμώμενης σβούρας
4.4 Tippe top
4.4.1 Tippe top (επίδειξη)
4.4.2 Απλή εξήγηση της κίνησης της σβούρας που αναποδογυρίζει
Το μάθημα απευθύνεται σε κάθε ενδιαφερόμενο πολίτη, μπορείτε δηλαδή να εγγραφείτε χωρίς να υπάρχει κάποιο προαπαιτούμενο.
Επίσης, είναι βιντεοσκοπημένο και ασύγχρονο. Μπορείτε, συνεπώς, να το παρακολουθήσετε στην πλατφόρμα μας τις ημέρες και ώρες που επιθυμείτε. Έχει διάρκεια τεσσάρων εβδομάδων και κάθε εβδομάδα προστίθενται νέες ενότητες, τις οποίες μπορείτε, όπως αναφέραμε, να δείτε στο πρόγραμμά σας.
Πέρα από το διδακτικό υλικό, το μάθημα περιλαμβάνει εβδομαδιαία τεστ και μία τελική εξέταση. Η συμπλήρωση των τεστ γίνεται και αυτή στο δικό σας πρόγραμμα, εντός κάποιων εβδομαδιαίων συνήθως προθεσμιών. Η συμμετοχή στα τεστ είναι βεβαίως στη δική σας ευχέρεια. Αν όμως επιθυμείτε την έκδοση βεβαίωσης επιτυχούς παρακολούθησης, θα χρειαστεί να συμμετάσχετε στο μεγαλύτερο μέρος του εξεταστικού του υλικού.
Τα μαθήματα του Mathesis προσφέρονται δωρεάν και έτσι θα συνεχίσουν. Μπορείτε να τα παρακολουθήσετε μέχρι τέλους και να συμμετάσχετε στα εβδομαδιαία τεστ και την τελική εξέταση. Εάν επιθυμείτε τη βεβαίωση επιτυχούς παρακολούθησης, θα σας ζητείται όμως ένα μικρό αντίτιμο –της τάξης των 20€– για την έκδοσή της, μετά την υποβολή της τελικής σας εξέτασης. Εάν δεν υποβάλετε την τελική σας εξέταση –ή αν την υποβάλετε, αλλά δεν περάσετε το μάθημα– δεν υπάρχει κάποια υποχρέωση πληρωμής.
Αν έχετε ήδη λογαριασμό στο Mathesis, αρκεί να συνδεθείτε στο Mathesis με το email που έχετε ήδη δηλώσει και, στη συνέχεια, να εγγραφείτε στο μάθημα. Αν δεν έχετε λογαριασμό στο Mathesis, θα χρειαστεί προηγουμένως να δημιουργήσετε έναν. Αν τυχόν χρειαστείτε βοήθεια για την εγγραφή σας στο μάθημα ή στην πλατφόρμα του Mathesis, μπορείτε να δείτε εδώ τις σχετικές οδηγίες.
Βιντεοσκόπηση: Βιντεοσκόπηση: Νίκος Γκικόπουλος.
Μοντάζ: Νίκος Γκικόπουλος, Δανάη Ποκομπέλλι.
Προγραμματισμός ασκήσεων: Δανάη Ποκομπέλλι.
Η βιντεοσκόπηση έγινε το 2025 στο στούντιο του Mathesis στο Ηράκλειο.
To εικονίδιο του μαθήματος προέρχεται από το φωτογραφικό πορτραίτο της Emmy Noether.
